公司在员工打架受伤治疗期间通常不能解除其职位。根据《劳动合同法》等规定，员工因工受伤治疗期间，用人单位不得辞退。若擅自解除，可能面临法律责任，且对员工造成不公，影响其治疗与康复。严重情况下，可能导致公司面临法律诉讼和赔偿。
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员工打架受伤，公司不可轻易解除职位。具体操作：1.若是工作相关伤害，立即按工伤流程处理，确保员工得到及时治疗，并保留其职位；2.若非工作原因，先调查清楚事件，再与员工沟通，考虑其伤情和治疗情况，尽量协商解决方案，避免直接解除职位；3.在任何情况下，都应遵循法律法规，确保处理过程合法合规。
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处理员工打架受伤治疗期间职位问题，常见方式有保留职位或按工伤处理。若员工因工作原因受伤，应按工伤处理，保留职位；若非工作原因，也需考虑员工权益，通常不宜直接解除职位，可协商处理或待其康复后评估。